Sự tồn tại của hiện tượng Gibbs trong truyền tín hiệu

Một hướng lý thuyết phổ biến khi đó cho rằng khi các hệ số Fourier cho một làn sóng vuông khi đã nhập vào máy tính, đồ thị sẽ dao động không liên tục, và bởi vì máy tính là một thiết bị vật lý có lỗ hổng. Michelson đã bị thuyết phục rằng do lỗi trong máy. Trên thực tế đồ thị do máy tạo ra không đủ để thể hiện hiện tượng Gibbs rõ ràng, và Michelson có thể không rõ. Lấy cảm hứng từ sự tương ứng giữa thiên nhiên với sự hội tụ của chuỗi Fourier của hàm sóng vuông. Vào năm 1898 J. Willard Gibbs xuất bản một bài báo, trong đó ông xem khái niệm được gọi là một làn sóng răng cưa và chỉ ra sự khác biệt quan trọng giữa giới hạn các đồ thị của chuỗi Fourier, và đồ thị của hàm đó là giới hạn của những phần gộp lại. Đầu tiên Gibbs đã không chú ý đến hiện tượng Gibbs, và giới hạn mà ông miêu tả cho các đồ thị của các hàm thành phần. Năm 1899, ông xuất bản một bản chỉnh sửa, trong đó ông mô tả sự vượt qua tại điểm gián đoạn. Năm 1906, Maxime Bôcher đã đưa ra phân tích toán học chi tiết về sự vượt qua tại các điểm gián đoạn, tạo ra thuật ngữ "hiện tượng Gibbs" và đưa thuật ngữ này vào sử dụng rộng rãi. Năm 1925, Horatio Scott Carslaw nhận xét: "Chúng ta vẫn có thể gọi thuộc tính của chuỗi Fourier (và một số dòng khác) là có xảy ra hiện tượng Gibbs, nhưng chúng ta không còn phải khẳng định rằng khái niệm này được phát hiện lần đầu tiên bởi Gibbs. " Hiện tượng Gibbs liên quan đến cả hai thực tế là chuỗi Fourier có tổng số lần vượt qua với một sự gián đoạn của hàm bước nhảy, và sự vượt qua này không gián đoạn vì nhiều thành phần được thêm vào tổng.{\ displaystyle \ pi} Như có thể thấy, khi số lượng các thuật ngữ tăng lên, sai số của phép tính xấp xỉ sẽ giảm về chiều rộng và năng lượng, nhưng lại hội tụ với một chiều cao cố định. Tính toán cho làn sóng vuông đưa ra một công thức rõ ràng cho giới hạn chiều cao của lỗi. Nó chỉ ra rằng loạt Fourier vượt quá chiều cao{\ displaystyle \ pi / 4} sóng vuông bằng hoặc khoảng 9 phần trăm của bước nhảy. Nhìn chung, tại bất kỳ điểm nhảy nào của một hàm phân biệt liên tục với một bước nhảy của một chuỗi Fourier thứ n sẽ (cho n rất lớn) vượt qua bước nhảy này xấp xỉ{\ displaystyle a \ cdot (0.089489872236 \ dots)} ở một đầu và bỏ nó bằng một lượng tương tự ở đầu, do  "nhảy" trong loạt Fourier thành phần sẽ được khoảng 18% lớn hơn nhảy trong chức năng ban đầu. Tại vị trí của sự gián đoạn, các pha Fourier một phần sẽ hội tụ đến điểm giữa của bước nhảy. 
     Hiện tượng Gibbs phản ánh những khó khăn vốn có trong việc xấp xỉ một hàm gián đoạn bởi một chuỗi hữu hạn các sóng sin và cosin liên tục. Điều quan trọng là nhấn mạnh vào từ hữu hạn bởi vì mặc dù mỗi một phần của chuỗi Fourier vượt quá chức năng mà nó xấp xỉ, giới hạn của các hàm thành phần thì không. Giá trị của x đạt cực đại đạt được gần và gần hơn với sự gián đoạn khi số lượng các điều kiện tổng hợp tăng lên, một khi  vượt qua bởi một x đặc biệt, có thể hội tụ ở giá trị x. Không có mâu thuẫn trong việc vượt qua hội tụ để một số không bằng không, nhưng giới hạn của một phần số hàm không có vượt qua, bởi vì vị trí của vượt qua  di chuyển, chúng ta có hội tụ điểm. Đối với hàm dạng chuỗi Fourier hội tụ đến hàm tại mọi điểm ngoại trừ sự không liên tục của bước nhảy. Tại các điểm không liên tục của bước nhảy, giới hạn sẽ hội tụ với mức trung bình của các giá trị của hàm ở hai bên của bước nhảy. Đây là hệ quả của Định lý Dirichlet .
   Hiện tượng Gibbs cũng liên quan đến nguyên tắc sự phân rã của các hệ số Fourier của một hàm tại vô cực được điều khiển bởi sự liên tục của hàm đó. Các hàm trơn sẽ có hệ số Fourier rất nhanh đang tan rã (kết quả là sự hội tụ nhanh của chuỗi Fourier), trong khi các hàm gián đoạn sẽ có sự suy giảm rất chậm các hệ số Fourier (làm cho chuỗi Fourier hội tụ rất chậm). Lưu ý rằng các hệ số Fourier 1, -1/3, 1/5, ... của sóng vuông liên tục được mô tả ở trên chỉ phân rã nhanh như các chuỗi điều hòa , không hoàn toàn hội tụ. Chuỗi Fourier trên chỉ ra rằng chỉ có điều kiện hội tụ cho hầu hết các giá trị của  x . Điều này giải thích một phần về hiện tượng Gibbs, bởi vì chuỗi Fourier với các hệ số Fourier đồng nhất sẽ được hợp nhất thống nhất bằng phép thử Weierstrass M và do đó không thể thể hiện được biên độ dao động trên. Tương tự như vậy, không thể tồn tại hàm gián đoạn có hệ số Fourier hoàn toàn hội tụ vì hàm đó sẽ là giới hạn thống nhất của các hàm liên tục và do đó liên tục.